Question

如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线

交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN.NP=2，PC=3。
（1）求BC的长;
（2）在直线BM上有一动点G，当CG+QC最短时，求BG的长度。

Answer 1

∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB，∴∠APQ=90°=∠ANM
∴AQ=MN，∴△PQA≌△ANM
∴AP=AM，PQ=AN，∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°，∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∴∠APM=∠BPC，∴∠QPB=∠BPC
∴∠BQP=∠BCP=90°，BP=BP
∴△BPQ≌△BCP
∴PQ=PC，∴PC=AN．
∵NP=2 PC=3，∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5 AC=8，∴AM=AP=5
∴AQ=MN=根号MA^2-AN^2=4
∵∠PAQ=∠AMN∠ACB=∠ANM=90°
∴∠ABC=∠MAN
∴tan∠ABC=tan∠MAN=MN/AN=4/3
∵tan∠ABC=AC/BC，∴BC=6