Question

已知数列A(n), A(n)大于0，它的前n项和记为S(n), A(n)是一个首项为a,公比为的等比数列，切G(n)=a1*a1+a2*a

已知数列A(n), A(n)>0，它的前n项和记为S(n), A(n)是一个首项为a,公比为q(q>0)的等比数列，切G(n)=a1*a1+a2*a2+。。。。。。an*an. 求极限(Gn/Sn)的值

Answer 1

说明：为方便文本输入和阅读，用A(n)表示数列{an}的第n项，(x)^2表示x的2次方，/表示除号，等等。
A(n)=a·q^(n-1)
当q≠1时:
∴S(n)=a(1-q^n)/(1-q)
∴G(n)=A(1)·A(1)+A(2)·A(2)+…+A(n)·A(n)
=(a^2)[q^0+q^2+q^4+…+q^(2n-2)]
=(a^2)[1-q^(2n)]/(1-q^2)
∴G(n)/S(n)=[(a^2)[1-q^(2n)]/(1-q^2)]/[a(1-q^n)/(1-q)]
=a/(1+q)·[1-q^(2n)]/(1-q^n)
∴当0<q<1时,n→∞：
lim[G(n)/S(n)]=a/(1+q)·(1/1)=a/(1+q)
当q>1时 ,n→∞：
lim[G(n)/S(n)]=lim[a/(1+q)·(1/q^n-q^n)/(1/q^n-1)]=∞
当q=1时，S(n)=a·n,G(n)=a*a·n,∴lim[G(n)/S(n)]=lim[(a^2*n)/(a*n)]=a

扩展题目：求极限Gn/(Sn^2)的值：
当q≠1时:
Gn/(Sn^2)=[(a^2)[1-q^(2n)]/(1-q^2)]/[a(1-q^n)/(1-q)]^2
=[(1-q)^2/(1-q^2)][1-q^(2n)]/[1-2·q^n+q^(2n)]
∴当0<q<1时,n→∞：
lim[G(n)/S(n)^2]=(1-q)^2/(1-q^2)
=(1-q)/(1+q)
当q>1时 ,n→∞：
lim[G(n)/S(n)^2]=lim[(1-q)^2/(1-q^2)][1/q^(2n)-1]/[1/q^(2n)-2q^n+1]
=[(1-q)^2/(1-q^2)](-1/1)
=(q-1)/(q+1)
当q=1时:lim[G(n)/S(n)^2]=lim[(a^2*n)/(a*n)^2]=lim(1/n)=0
总之扩展题目:lim[G(n)/S(n)^2]=|(1-q)/(1+q)|