Question

离散数学：证明：如果R1和R2是集合A上的等价关系，那么R1∩R2是A上的一个等价关系。

离散数学：证明：如果R1和R2是集合A上的等价关系，那么R1∩R2是A上的一个等价关系。
急求，感激不尽
离散数学感觉比高数还坑

Answer 1

等价关系，只需证明满足自反∧对称∧传递

这个利用等价关系的定义来做，即可：

• 自反性：a∈A，则<a,a>∈R1，<a,a>∈R2

则<a,a>∈R1∩R2

• 对称性：<a,b>∈R1∩R2

则<a,b>∈R1，且<a,b>∈R2

则<b,a>∈R1，且<b,a>∈R2

因此<b,a>∈R1∩R2

• 传递性：<a,b>∈R1∩R2， <b,c>∈R1∩R2

则<a,b>∈R1，<b,c>∈R1,且<a,b>∈R2, <b,c>∈R2

因此<a,c>∈R1,且<a,c>∈R2

则<a,c>∈R1∩R2

Answer 2

证明 由交集的定义r1∩r2={(a,b)|(a,b)Îr1且(a,b)Îr2}。

对任意一个aÎA，因为r1和r2都是自反的，所以有(a,a)Îr1且(a,a)Îr2，因而有(a,a)Îr1∩r2，故r1∩r2是自反的。

对任意a,bÎA，若(a,b)Îr1∩r2，则有(a,b)Îr1且(a,b)Îr2，由r1和r2的对称性有(b,a)Îr1且(b,a)Îr2，因而有(b,a)Îr1∩r2，故r1∩r2是对称的。

对任意a,b,cÎA，若(a,b)Îr1∩r2，(b,c)Îr1∩r2，则有(a,b)Îr1，(b,c)Îr1；(a,b)Îr2，(b,c)Îr2。由r1和r2的传递性有(a,c)Îr1，(a,c)Îr2，因而有(a,c)Îr1∩r2，故r1∩r2是传递的。

由以上三方面知r1∩r2是A上的等价关系。证毕

Answer 3

证明过程如图

Answer 4

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