Question

已知二次函数f（x）=x2-4x-4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g

已知二次函数f（x）=x2-4x-4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值．

Answer 1

（1）二次函数f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8
二次函数的开口方向向上，对称轴方程：x=2
①当t=1时，x∈[t，t+2]距离对称轴的距离相等，所以f(x)max＝f(t)＝t2?4t?4
②当0＜t＜1时，x=t+2距离对称轴的距离比x=t的距离远，所以f(x)max＝f(t+2)＝t2?8
③当1＜t＜2时，x=t离对称轴的距离必x=t+2的距离远，所以f(x)max＝f(t)＝t2?4t?4
④当t＜0时，函数为单调递减函数，所以f(x)max＝f(t)＝t2?4t?4
⑤当t＞2时，函数是单调递增函数，所以f(x)max＝f(t+2)＝t2?8
（2）①当0＜t＜2时，f（x）_min=-8
②当t＜0时，函数为单调递减函数，所以f(x)min＝f(t+2)＝t2?8
③当t＞2时，函数为单调递增函数，所以f(x)min＝f(t)＝t2?4t?4
故答案为：①当t=1时，f(x)max＝f(t)＝t2?4t?4
②当0＜t＜1时，f(x)max＝f(t+2)＝t2?8
③当1＜t＜2时，f(x)max＝f(t)＝t2?4t?4
④当t＜0时，f(x)max＝f(t)＝t2?4t?4
⑤当t＞2时，f(x)max＝f(t+2)＝t2?8
（2）①当0＜t＜2时，f（x）_min=-8
②当t＜0时，f(x)min＝f(t+2)＝t2?8
③当t＞2时，f(x)min＝f(t)＝t2?4t?4

Answer 2

g(t)=t²-4t-4 t<1
-7 t=1
t²-8 t>1
g(x)min=-7