Question

已知函数fx=(ax^2-1)e^x 若函数fx在x=1时取得极值，求a的值。 当a≤0时

求函数fx的单调区间。

Answer 1

（1）f(x)=(ax^2-1)*e^x
f'(x)=2ax*e^x+(ax^2-1)*e^x
函数f(x)在x=1时取得极值
∴有f'(1)=0=2ae+(a-1)e=(3a-1)e
∴a=1/3
（2）f'(x)=2ax*e^x+(ax^2-1)*e^x
=e^x*(ax^2+2ax-1)
=ae^x*[(x+1)^2-1-1/a]
当-1≤a≤0时，[(x+1)^2-1-1/a]≥0恒成立
∴f'(x)≤0恒成立，函数f(x)单调递减
当a≤-1且[(x+1)^2-1-1/a]≥0时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减
此时可解得 x≥-1+√(1+1/a)或x≤-1-√(1+1/a)
当a≤-1且[(x+1)^2-1-1/a]≤0时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增
此时可解得 -1-√(1+1/a)≤x≤-1+√(1+1/a)