Question

已知函数f(x)=(ax^2-1)e^x,a∈R。(1)若函数f(x)在x=1时取得极值，求a的值

已知函数f(x)=(ax^2-1)e^x,a∈R。(1)若函数f(x)在x=1时取得极值，求a的值。(2)当a≤0时，求函数f(x)的单调区间。

Answer 1

对函数进行求导，f(x)′=（ax^2+2ax-1）e^x。⑴函数f(x)在x=1时取得极值，f(1)′=0，得a=1/3,⑵e^x>0,当a=0时f(x)′<0函数单调递减，当a≠0时，f(x)′的符号主要受ax^2+2ax-1的符号的影响 ，令g(x)=ax^2+2ax-1，令g(x)=0，则有方程ax^2+2ax-1=0，其△=4a(a+1),当-1≤a＜0方程无解，或只有一个解，此时g(x)≤0，函数f(x)单调递减，当a＜-1时，方程有两个解[-1+根号下a(a+1)]/a＜[-1-根号下a(a+1)]/a,函数f(x)在（－∞，-1+根号下a(a+1)]、﹙[-1-根号下a(a+1)]/a，∞﹚单调递减，在﹙[-1+根号下a(a+1)]/a，[-1-根号下a(a+1)]/a]单调递增，综上：你自己合并下。