Question

函数y=f(x)对任意的a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1。且当x＞0时，f(x

函数y=f(x)对任意的a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1。且当x＞0时，f(x)＞1。
1.求证f(x)是R上的增函数。
2.若f(4)=5，解不等式f(3m²-m-2)＜3。

Answer 1

希望对你有所帮助   还望采纳~~~

Answer 2

1)f(a+b)-f(a)=f(b)-1
当b>0时，有f(b)-1>0, 即f(a+b)-f(a)>0
记x1=a+b, x2=a, b>0，即x1>x2, 上式即为f(x1)-f(x2)>0, 因此f(x)在R上单调增。
2）令a=b=2,则有f(4)=f(2)+f(2)-1,
而f(4)=5,得：5=2f(2)-1, 得：f(2)=3
由单调性，不等式化为：3m^2-m-2<2
3m^2-m-4<0
(3m-4)(m+1)<0
得:-1<m<4/3

Answer 3

追答

Answer 4

(1)f(a+b)=f(a)+f(b)-1
且当x＞0时，f(x)＞1
设x2>x1
f(x2-x1+x1)=f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)-1
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)-1=f(x2-x1)-1
∵x2-x1>0
∴f(x2-x1)-1>0
∴f(x)是R上的增函数.
(2)
∵f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)-1

∴f(0)=1
f(-x+x)=f(-x)+f(x)-1=1
∴f(x)+f(-x)=2
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)-1=2f(1)-1
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2
f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)-1=4f(1)-3=5
∴f(1)=2
∴f(2)=2f(1)-1=3
f(3m²-m-2)＜3=f(2)

∵f(x)是R上的增函数.
∴3m²-m-2<2
(3m-4)(m+1)<0
-1<m<4/3

Answer 5

解：（1）设b＞0,则x+b＞b, f(x+b)=f(x)+f(b)-1＞f(x).
所以f(x)在R上是增函数。
(2)f(4)=2 f(2)-1=5，f(2)=3。
因为f(x)为增函数，
所以f(3m²-m-2)＜3= f(2)。
即3m²-m-2＜2. 3m²-m-4＜0
(3m-4)(m+1) ＜0
解得-1＜m＜4/3