Question

如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC （1）求直线P

如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC （1）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（2）求二面角B-AP-C的大小。

Answer 1

解：（1）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD 因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB， 因为∠APB=90°，∠PAB=60°， 所以△PAD为等边三角形， 所以PO⊥AD， 又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角 不妨设PA=2，则OD=1，OP= ，AB=4 所以CD=2 ，OC= = = 在RT△OCP中，tan∠OCP= = = 故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan 。 （2）过D作DE⊥AP于E，连接CE 由已知，可得CD⊥平面PAB 根据三垂线定理知，CE⊥PA 所以∠CED为二面角B-AP-C的平面角 由（1）知，DE= ， 在RT△CDE中，tan∠CED= = =2， 故二面角B-AP-C的大小为arctan2。