Question

如图所示，将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，EF、EC为折痕，折叠后点A落在边CD的A处，点B落在边A′E的B′处

如图所示，将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，EF、EC为折痕，折叠后点A落在边CD的A处，点B落在边A′E的B′处．若A′D=4，BC=8，则AE的长是（　　）A．10B．11C．12D．13

Answer 1

∵矩形ABCD的边BC=8，
∴AD=BC=8，
由翻折的性质得，AF=A′F，B′C=BC，
设AF=x，则DF=8-x，
在Rt△A′DF中，由勾股定理得，A′D²+DF²=A′F²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴DF=8-x=8-5=3，
由翻折得，∠EA′F=∠A=90°，∠CB′E=∠B=90°，CB′=BC=8，
∴∠DA′F+∠CA′B′=90°，∠A′B′C=90°，
∵∠DA′F+∠A′FD=90°，
∴∠A′FD=∠CA′B′，
又∵∠D=∠A′B′C=90°，
∴△A′DF∽△CB′A′，
∴

DF

A′B′

=

A′D

CB′

，
即

3

A′B′

=

4

8

，
解得A′B′=6，
由勾股定理得，A′C=

A′B′2+CB′2

=

62+82

=10，
∴CD=A′D+A′C=4+10=14，
∴AB=CD=14，
设AE=y，则BE=14-y，
由翻折的性质得，∠AEF=∠A′EF，∠BEC=∠B′EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠BEC，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴

AF

BE

=

AE

BC

，
即

5

14?y

=

y

8

，
整理得，y²-14y+40=0，
解得y₁=4，y₂=10，
由图可知，AE大于AB的一半，
所以AE=10．
故选A．