Question

已知等差数列{an}中公差不为0，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列（1）求公差；（2）求数列{n2an}的前n项和Sn

已知等差数列{an}中公差不为0，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列（1）求公差；（2）求数列{n2an}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）由题设知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列得

1+2d

1

＝

1+8d

1+2d

，
解得d=1，d=0（舍去）；
（2）{a_n}的通项a_n=1+（n-1）×1=n．
S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．