Question

已知函数f（x）=loga（2+x），g（x）=loga（2-x），a＞0且a≠1且设h（x）=f（x）-g（x）．（Ⅰ）求函数h

已知函数f（x）=loga（2+x），g（x）=loga（2-x），a＞0且a≠1且设h（x）=f（x）-g（x）．（Ⅰ）求函数h（x）的定义域；（Ⅱ）判断h（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）当f（x）＞g（x）时，求x的取值范围．

Answer 1

（I）h（x）=f（x）-g（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x），
∴

2+x＞0 2?x＞0

，解得-2＜x＜2．
∴函数h（x）的定义域为（-2，2）．
（II）∵h（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-h（x），
∴函数h（x）为奇函数．
（III）∵f（x）＞g（x），∴log_a（2+x）＞log_a（2-x）．
当0＜a＜1时，0＜2+x＜2-x，解得-2＜x＜0，即x的取值范围是（-2，0）．
当1＜a时，2+x＞2-x＞0，解得0＜x＜2，即x的取值范围是（0，2）．