如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB.(1)求证:AC是△BDE的外接圆

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB.(1)求证:AC是△BDE的外接圆的切线.(2)若AD=26,AE=62,求... 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB.(1)求证:AC是△BDE的外接圆的切线.(2)若AD=26,AE=62,求EC的长. 展开
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书泽惠rg
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(1)证明:取BD中点O,连接OE,
∵∠DEB=90°,
∴BD为直径,
∴BD的中点O为外接圆的圆心.
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠EBO,
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠EBO,
∴∠OEB=∠CBE,
∴OE∥BC,
∵BC⊥AC,
∴OE⊥AC,
∵OE为半径,
∴AC是△BDE的外接圆的切线;

(2)解:设⊙O半径为R,
则在Rt△AOE中,由勾股定理得:OA2=AE2+OE2
即(R+2
6
2=R2+(6
2
2
解得:R=2
6

∴OA=2OE,
∴∠A=30°,∠AOE=60°,
∴∠CBE=∠OBE=30°,
∴EC=
1
2
BE=
1
2
×
3
R=
1
2
×
3
×2
6
=3
2
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