Question

设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项

设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）：当n=1时，a₁=S₁=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
故{a_n}的通项公式为a_n=4n-2，即{a_n}是a₁=2，公差d=4的等差数列．
设{b_n}的公比为q，则b₁qd=b₁，d=4，∴q=

1

4

．
故b_n=b₁q^n-1=2×

1

4n-1

，即{b_n}的通项公式为b_n=

2

4n-1

．
（II）∵c_n=

an

bn

=

4n-2

2 4n-1

=（2n-1）4^n-1，
T_n=c₁+c₂+…+c_n
T_n=1+3×4¹+5×4²+…+（2n-1）4^n-1
4T_n=1×4+3×4²+5×4³+…+（2n-3）4^n-1+（2n-1）4ⁿ
两式相减得，3T_n=-1-2（4¹+4²+4³+…+4^n-1）+（2n-1）4ⁿ=

1

3

[（6n-5）4ⁿ+5]
∴T_n=

1

9

[（6n-5）4ⁿ+5]