Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最小

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若f（x）=2f′（x），求1+sin2xcos2x?sinxcosx的值．

Answer 1

（1）因为f（x）=sinx+cosx，所以f'（x）=cosx-sinx，
所以F(x)＝(sinx+cosx)(cosx?sinx)+(sinx+cosx)2＝cos2x+1+sin2x＝

2

sin(2x+

π

4

)+1，
所以T=π；
由2x+

π

4

∈[2kπ?

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈Z)，得x∈[kπ?

3

8

π，kπ+

π

8

]（k∈Z）
单调递增区间为[kπ?

3

8

π，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（2）由f（x）=2f′（x），得：sinx+cosx=2cosx-2sinx，即tanx＝

1

3

所以

1+sin2x

cos2x?sinxcosx

=

2sin2x+cos2x

cos2x?sinxcosx

＝

2tan2x+1

1?tanx

=

11

6

．