Question

设f（x）的一个原函数为sinxx，则∫xf′（x）dx=______

设f（x）的一个原函数为sinxx，则∫xf′（x）dx=______．

Answer 1

因为f（x）的一个原函数为

sinx

x

，所以
∫f(x)dx＝

sinx

x

+C1，
f（x）=(

sinx

x

)′=

xcosx?sinx

x2

．
利用分部积分计算可得，
∫xf′（x）dx=xf（x）-∫f（x）dx
=

xcosx?sinx

x

?

sinx

x

+C
=cosx?

2sinx

x

+C．
故答案为：cosx?

2sinx

x

+C．

Answer 2

令F(x)=xf(x)
F'(x)=f(x)+xf'(x)
所以xf'(x)=F'(x)-f(x)
所以∫xf'(x)dx=∫[F'(x)-f(x)]dx
=∫F'(x)dx-∫f(x)dx
=F(x)-sinx/x+C
=xf(x)-sinx/x+C