Question

（2010?萝岗区一模）如图，点P是正方形ABCD内的一点，AP=1，BP=2，CP=3，BP⊥BP′，BP=BP′（1）求证：∠

（2010?萝岗区一模）如图，点P是正方形ABCD内的一点，AP=1，BP=2，CP=3，BP⊥BP′，BP=BP′（1）求证：∠APB=∠CP′B，PA=P′C；（2）求∠APB．

Answer 1

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BP⊥BP′，
∴AB=CB，∠ABC=∠PBP′=90°，（2分）
∴∠ABC-∠PBC=∠PBP′-∠PBC（4分）
即∠ABP=∠CBP′，（4分）
又∵BP=BP′，
∴△ABP≌△CBP′，（5分）
∴∠APB=∠CP′B，PA=P′C；（6分）

（2）连接PP′，（7分）
∵BP⊥BP′，BP=BP′=2，
∴∠BP′P=∠BPP′=45°，且P′P=2

2

，（8分）
∵P′C=PA=1，PC=3，PP′=2

2

，
∴（PC）²=P′C²+PP′²，满足勾股定理的逆定理，（10分）
∴∠PP′C=90°，（11分）
∴∠APB=∠CP′B=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°．（12分）