已知空间的一个基底为{a ,b,c},p=3a+2b+c,m=a-b+c,n=a+b-c,,试判断p,m,n是否共面 10
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解假设p,m,n是共面
则存在实数k1，k2
使得p=k1m+k1n成立
即3a+2b+c=k1(a-b+c)+k2(a+b-c)
即3a+2b+c=(k1+k2)a+(k2-k1)b+(k1-k2)c
即的方程组
k1+k2=3...............(1)
k2-k1=2................(2)
k1-k2=1.................(3)
由（2）与（3）知
知方程组无解
即
不存在实数k1，k2
使得p=k1m+k1n成立
则p,m,n不共面
则存在实数k1，k2
使得p=k1m+k1n成立
即3a+2b+c=k1(a-b+c)+k2(a+b-c)
即3a+2b+c=(k1+k2)a+(k2-k1)b+(k1-k2)c
即的方程组
k1+k2=3...............(1)
k2-k1=2................(2)
k1-k2=1.................(3)
由（2）与（3）知
知方程组无解
即
不存在实数k1，k2
使得p=k1m+k1n成立
则p,m,n不共面
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