Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B（5，0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DO

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B（5，0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60度．（1）求点D，B所在直线的函数表达式；（2）求点M的坐标；（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（0°＜α＜30°后，得到∠D 1 MC 1 （点D 1 ，C 1 依次与点D，C对应）， 射线MD 1 交边DC于点E，射线MC 1 交边CB于点F，设DE=m，BF=n．求m与n的函数关系式．

Answer 1

（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A． 在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°， ∴DA=OD?sin∠DOB= 3 ， OA=OD?cos∠DOB=1， ∴点D的坐标为（1， 3 ）， 设直线DB的函数表达式为y=kx+b， 由B（5，0），D（1， 3 ），得 0=5k+b 3 =k+b ， 解得 k=- 3 4 b= 5 4 3 ， ∴直线DB的函数表达式为y=- 3 4 x+ 5 4 3 ； （2）∵∠DMC=∠DOB=60°， ∴∠ODM+∠DMO=120°，∠DMO+∠CMB=120°， ∴∠ODM=∠CMB， ∵等腰梯形OBCD的∠DOB=∠CBO， ∴△ODM ∽ △BMC， ∴ OD BM = OM BC = DM MC ， ∴OD?BC=BM?OM， ∵B点为（5，0）， ∴OB=5． 设OM=x，则BM=5-x ∵OD=BC=2， ∴2×2=x（5-x）， 解得x 1 =1，x 2 =4， ∴M点坐标为（1，0）或（4，0）； （3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图1， OM=1，BM=4． ∵DC ∥ OB， ∴∠MDE=∠DMO， 又∵∠DMO=∠MCB， ∴∠MDE=∠MCB， ∵∠DME=∠CMF=α， ∴△DME ∽ △CMF， ∴ DE CF = DM CM = OD BM = 2 4 = 1 2 ， ∴CF=2DE， ∵CF=2-n，DE=m， ∴2-n=2m，即m=1- n 2 ； （Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，如图2 OM=4，BM=1． 同（Ⅰ），可得△DME ∽ △CMF， ∴ DE CF = DM CM = OD BM = 2 1 =2 ， ∴DE=2CF， ∵CF=2-n，DE=m， ∴m=2（2-n），即m=4-2n． 综上所述，m与n的函数关系式为：m=1- n 2 或m=4-2n．