Question

在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极

在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵直线l过定点P（4，2），且倾斜角为α，
∴l的参数方程为

x＝4+tcosα y＝2+tsinα

（t为参数）．
由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，
将

ρ2＝x2+y2 x＝ρcosθ

代入上式中，整理得曲线C的普通方程为x²+y²-4x=0．
（Ⅱ）将l的参数方程

x＝4+tcosα y＝2+tsinα

代入x²+y²=4x中，
得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，
由题意有△=16（sinα+cosα）²-16＞0，
得sinα?cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜

π

2

．
设点M，N对应的参数分别为t₁，t₂，
由韦达定理，得t₁+t₂=-4（sinα+cosα）＜0，t₁?t₂=4＞0，
∴t₁＜0，且t₂＜0，
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=-t₁-t₂=4（sinα+cosα）=4

2

sin(α+

π

4

)．
由0＜α＜