Question

一个逻辑学问题，高手请进

有三个门A、B、C，三个门中有一个门后面有一辆汽车，另外两个门后面一无所有。现在让一个人来选，如果他选的门后面有汽车，他将得到汽车；如果他选择的门后面一无所有，他将一无所得。
现假定张三选了C门（不论C门后面有否汽车，A、B两门后总有一门后面没有汽车），主持人知道了每个门后面的情况，于是他打开了A、B两门中的一个，设为B，门后没有汽车；对于主持人来说，没有告诉张三任何信息。但主持人又告诉张三，选择者现在还可能改变选择，即在C门和未打开的A门之间选择，问，张三应不应该改变他的选择？

Answer 1

经典解法（结论倒是正确的）：
第一次选择正确的概率是1/3
因此汽车在另外两个门里的概率是2/3
主持人指出一个门，如果你开始选错了(2/3概率)，则剩下的那个门里100%有汽车
如果你第一次选对(1/3)了，剩下那个门里100%没汽车。
所以主持人提示之后，你不换的话正确概率是1/3*100%+2/3*0=1/3
你换的话正确概率是1/3*0+2/3*100%=2/3

我先说说这个经典解法的问题吧。对于这个解法的诘问就在于，现在主持人已经打开一个空门了（而且主持人是有意打开这个门的），在这一 “信息” 出现后，还能说当初选错的概率是2/3吗？这一后验事实不会改变我们对于先验概率的看法吗？答案是会的。更具体地说，主持人打开一扇门后，对当初选择错误的概率估计不一定等于2/3。
从头说起。假设我选了B门，假设主持人打开了C门，那么他在什么情况下会打开C门呢？
若A有车（先验概率P=1/3），那主持人100%打开C门（他显然不会打开B）；
若B有车（先验概率P=1/3），那此时主持人有A和C两个选择，假设他以K的概率打开C（一般K=1/2，但我们暂把它设成变量）；
若C有车（先验概率P=1/3），那主持人打开C的概率为0（只要他不傻。。。）

已知他打开了C，那根据贝叶斯公式——这里P（M|N）表示N事件发生时M事件发生的概率：
P（B有车 | C打开）=P（B有车 | C打开）/ P（C打开）= (1/3)*K / [(1/3)*1+(1/3)*K] = K / (K+1)
该值何时等于1/3 呢（也就是经典解法里的假设）？ 只有 K=1/2 时。 也就是一般情况下。但如果主持人有偏好，比方说他就是喜欢打开右边的门（假设C在右边），设K=3/4， 那么B有车的概率就变成了 3/5，不再是1/3，后验事实改变了先验概率的估计！

但这并不改变正确的选择，我们仍然应该改选A门， 解释如下：
P（A有车 | C打开）= P（A有车 | C打开）/P（C打开）=（1/3）*1 / [(1/3)*1+(1/3)*K] =1/（K+1）

而K < 1（假设主持人没有极端到非C不选的程度），
所以永远有 P(B有车 | C打开) < P( A有车 | C打开)
A有车的概率永远比B大，我们还是应该改变选择。

这个解法的重点在于考虑了C被打开这个事实的影响，从而消除了关于先验后验的纷扰。
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如果你总是探寻生命的意义，
那么你将无法活在这个世界上。
——阿尔贝 加缪

Answer 2

主持人是知道哪个有车的，他一定是选择没有车的那个门打开的，如果选到的那个门后面有车，则更换之后得不到车，这个概率是1/3；而如果选择到的是没有车的门，那么由于主持人会在另外两个门中选择没有车的门打开（而不是随机选择的），那么只剩下有车的那个门，更换之后一定有车，这个概率是2/3，比最开始随机选的概率1/3要高，所以要换一个门。
也就是说，如果主持人随机在另外两个门里打开一个然后是空门，这个时候是不需要更换的，且概率都升为1/2.

Answer 3

其实这个问题很简单。不要忘了一个前提，汽车一开始就确定了在哪个门，主持人开了一个门之后，汽车并没有重新挪动，车在哪个门的概率并没有变化。我们要解决的问题不是车在哪个门，而是怎么选择让我们的胜率更高。
1、参赛者选了A，选中几率是1/3；那么B和C的概率就是2/3。我们做一个变通，把B和C看做一个整体D，也就是D的概率是2/3。好，假如一开始主持人让参赛者在A和D之间选择，参赛者选哪个？傻子才选A对不对。
2、好，参赛者当了傻子选A，然后主持人打开了C——D的一半，没有车，D的概率改变了吗？没有！仍然是2/3。
3、那现在再给参赛者一次机会，要不要选D？
请记住，车没有动，车没有动，车没有动！

Answer 4

应该改变。因为改了之后得奖的几率会更大
就和一楼说的一样。
如果换成有50扇门，只有一扇后有奖品。选了一扇后，选中的几率是1/50。打开其他没有奖品的48扇门，这时只剩下2扇门了。而此时最初选中的那扇门中奖的几率还是1/50，而另一扇门的几率则是49/50。哪个比较有优势不就很明显了么

Answer 5

改不改变都一样,当B门没打开时,C门有汽车的几率是1/3,而当B门打开后,A门和C门有汽车的几率都变为1/2.