Question

求函数y=-x 2 -2x，x∈[t，t+1]的最大值

求函数y=-x 2 -2x，x∈[t，t+1]的最大值．

Answer 1

配方可得y=-（x+1） 2 +1 当t+1＜-1，即t＜-2时，函数在[t，t+1]上单调增，∴x=t+1时，函数的最大值为-（t+2） 2 +1； 当t≤-1≤t+1，即-2≤t≤-1时，函数在[t，-1）上单调增，在（-1，t+1]上单调减，∴x=-1时，函数的最大值为1； 当t＞-1时，函数在[t，t+1]上单调减，∴x=t时，函数的最大值为-（t+1） 2 +1； ∴综上知，t＜-2时，函数的最大值为-（t+2） 2 +1；-2≤t≤-1时，函数的最大值为1；t＞-1时，函数的最大值为-（t+1） 2 +1．

Answer 2

y=-x²-2x
=-（x²+2x）
=-（x²+2x+1）+1
=-（x+1）²+1
函数的对称轴为x=-1，开口朝下
①当t+1＜-1时，即t＜-2时，函数在x∈【t，t+1】区间为单调递增
所以x=t+1时函数值最大，则最大值为y=-（t+1）²-2（t+1）=-t²-2t-1-2t-2=-t²-4t-3
②当t＜-1＜t+1，即-2＜t＜-1时，函数最大值为顶点坐标纵坐标值
所以当x=-1时函数值最大，则最大值为y=1
③当t＞-1时，函数在x∈【t，t+1】区间为单调递减
所以当x=t时函数值最大，则最大值为y=-t²-2t