Question

如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=22AB=2．（1）证明：DC⊥DE；（2）求三

如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=22AB=2．（1）证明：DC⊥DE；（2）求三棱锥C-A1DE的体积．

Answer 1

证明：（1）由AC＝CB＝

2

2

AB，
AC²+CB²=AB²
故△ABC为等腰直角三角形
又由D是AB的中点，
知CD⊥AB，
又∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴CD⊥AA₁，
又∵AB，AA₁?面A₁ABB₁，AB∩AA₁=A
∴CD⊥面A₁ABB₁，
又∵DE?面A₁ABB₁，
故DC⊥DE；
（2）由（1）知CD⊥面A₁ABB₁，且CD=

2

在Rt△A₁AD中，AA₁=2，AD=

2

，
故A₁D=

6

在Rt△BDE中，BE=1，BD=

2

，
故DE=

3

Rt△A₁B₁E中，A₁B₁=2

2

，B₁E=1
故A₁E=3
∵A1E2＝A1D2+DE2
故三角形△A₁DE为直角三角形
故