Question

已知函数f（x）=2sinxcos（x+ π 6 ）-cos2x+m．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈

已知函数f（x）=2sinxcos（x+ π 6 ）-cos2x+m．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[- π 4 ， π 4 ]时，函数f（x）的最小值为-3，求实数m的值．

Answer 1

（I）∵f（x）=2sinx cos(x+ π 6 )-cos2x+m = 2sinx( 3 2 cosx- 1 2 sinx)-cos2x+m = 3 sinxcosx-  sin 2 x-cos2x+m = 3 2 sin2x- 1-cos2x 2 -cos2x+m （3分） = 3 2 sin2x- 1 2 cos2x- 1 2 +m =sin（2x- π 6 ）+m- 1 2 ．（5分） ∴f（x）的最小正周期 T= 2π 2 =π （6分） （Ⅱ）当 x∈[- π 4 ， π 4 ] ，有 - 2π 3 ≤2x- π 6 ≤ π 3 （8分） ∴ -1≤sin(2x- π 3 )≤ 3 2 ．（10分） 得到f（x）的最小值为m - 3 2 ．（11分） 由已知，有m - 3 2 =-3则m= - 3 2 （12分）