Question

（2013?枣庄）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是

（2013?枣庄）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：AC2=AD?AB；（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC为半径，
∴EF是⊙O的切线．

（2）证明：连接BC，
∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴AC²=AD?AB．

（3）解：∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°，
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°，
∵在Rt△ACD中，AD=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
由勾股定理得：DC=

3

，
∴阴影部分的面积是S=S_梯形OCDA-S_扇形OCA=

1

2

×（2+1）×

3

-

60π×22

360

=

3 3

2

-

2

3

π．