Question

已知数列{an}是以2为首项、1为公差的等差数列，数列{bn}是以1为首项、2为公比的等比数列，若cn=anbn（n∈

已知数列{an}是以2为首项、1为公差的等差数列，数列{bn}是以1为首项、2为公比的等比数列，若cn=anbn（n∈N*），当c1+c2+…+cn＞2015时，n的最小值为______．

Answer 1

∵a_n=2+（n-1）×1=n+1，b_n=2^n-1，
∴c_n=a_nb_n=（n+1）?2^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=2×1+3×2+4×2²+5×2³+…+（n+1）×2^n-1，
∴2T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ，
∴-T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ
=2+（2+2²+2³+…+2^n-1）-（n+1）×2ⁿ
=2+

2(1?2n?1)

1?2

-（n+1）×2ⁿ，
=-n?2ⁿ，
∴c₁+c₂+…+c_n=n?2ⁿ，
由n?2ⁿ＞2015得：8?2⁸=2¹¹=2024＞2015，
∴n的最小值为8．
故答案为：8．