微分中值定理证明
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令f(x)=a^(1/x)，则f'(x)=-(1/x²)(a^(1/x))·lna，由中值定理知
存在ξ∈(n，n+1)，使得f'(ξ)=f(n+1)-f(n)
即a^(1/(n+1))-a^(1/n)=-(1/ξ²)(a^(1/ξ))·lna
=>[a^(1/(n+1))-a^(1/n)]/lna=(1/ξ²)a^(1/ξ)
∵n<ξ<n+1，∴1/(n+1)<1/ξ<1/n，又a>1
∴1/(n+1)²<1/ξ²<1/n²，a^(1/(n+1))<a^(1/ξ)<a^(1/n)
∴[a^(1/(n+1))]/(n+1)²<[a^(1/ξ)]/ξ²<[a^(1/n)]/n²
即[a^(1/(n+1))]/(n+1)²<[a^(1/(n+1))-a^(1/n)]/lna<[a^(1/n)]/n²
存在ξ∈(n，n+1)，使得f'(ξ)=f(n+1)-f(n)
即a^(1/(n+1))-a^(1/n)=-(1/ξ²)(a^(1/ξ))·lna
=>[a^(1/(n+1))-a^(1/n)]/lna=(1/ξ²)a^(1/ξ)
∵n<ξ<n+1，∴1/(n+1)<1/ξ<1/n，又a>1
∴1/(n+1)²<1/ξ²<1/n²，a^(1/(n+1))<a^(1/ξ)<a^(1/n)
∴[a^(1/(n+1))]/(n+1)²<[a^(1/ξ)]/ξ²<[a^(1/n)]/n²
即[a^(1/(n+1))]/(n+1)²<[a^(1/(n+1))-a^(1/n)]/lna<[a^(1/n)]/n²
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