Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（-1，0），（5，0） ，（0，2）．（1）求过A、B

如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（-1，0），（5，0） ，（0，2）．（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；①求S与t的函数关系式；②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），C（0，2）三点代入解析式得： a-b+c=0 25a+5b+c=0 c=2 ， 解得 a=- 2 5 b= 8 5 c=2 ； ∴ y=- 2 5 x 2 + 8 5 x+2 ；（3分） （法二）设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1）， 把（0，2）代入解析式得：2=-5a， ∴ a=- 2 5 ； ∴ y=- 2 5 (x+1)(x-5) ， 即 y=- 2 5 x 2 + 8 5 x+2 ；（3分） （2）①过点F作FD⊥x轴于D， 当点P在原点左侧时，BP=6-t，OP=1-t； 在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°， ∵∠FPD+∠CPO=90°， ∴∠PCO=∠FPD； ∵∠POC=∠FDP， ∴△CPO ∽ △PFD，（5分） ∴ FD PO = PF PC ； ∵PF=PE=2PC， ∴FD=2PO=2（1-t）；（6分） ∴S △PBF = 1 2 BP×DF =t 2 -7t+6（0≤t＜1）；（8分） 当点P在原点右侧时，OP=t-1，BP=6-t； ∵△CPO ∽ △PFD，（9分） ∴FD=2（t-1）； ∴S △PBF = 1 2 BP×DF =-t 2 +7t-6（1＜t＜6）；（11分） ②当0≤t＜1时，S=t 2 -7t+6； 此时t在t=3.5的左侧，S随t的增大而减小，则有： 当t=0时，Smax=0-7×0+6=6； 当1＜t＜6时，S=-t 2 +7t-6； 由于1＜3.5＜6，故当t=3.5时，Smax=-3.5×3.5+7×3.5+6=6.25； 综上所述，当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25． （3）能；（12分） ①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4， 在Rt△OCP中，OP=t-1， 由勾股定理易求得CP 2 =t 2 -2t+5，那 么PF 2 =（2CP） 2 =4（t 2 -2t+5）； 在Rt△PFB中，FD⊥PB， 由射影定理可求得PB=PF 2 ÷PD=t 2 -2t+5， 而PB的另一个表达式为：PB=6-t， 联立两式可得t 2 -2t+5=6-t，即t= 1+ 5 2 ， P点坐标为（ 5 -1 2 ，0）， 则F点坐标为：（ 5 +7 2 ， 5 -1）； ②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB ∽ △CPO，且相似比为2， 那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2， P点坐标为（1，0）．FD=2（t-1）=2， 则F点坐标为（5，2）．（14分）