如图,空间几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直,且AE⊥AD,EF ∥ AD,

如图,空间几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直,且AE⊥AD,EF∥AD,其中P,Q分别为棱BE,DF的中点.(1)求证:... 如图,空间几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直,且AE⊥AD,EF ∥ AD,其中P,Q分别为棱BE,DF的中点.(1)求证:BD⊥CE;(2)求证:PQ ∥ 平面ABCD. 展开
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狸禾0567
2014-10-23 · TA获得超过145个赞
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证明:(1)连接AC,在菱形ABCD中,AC⊥BD,
∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD,AE⊥AD,AE?平面ADEF,
∴AE⊥平面ABCD,
∵BD?平面ABCD,
∴AE⊥BD,
∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面AEC,
∴BD⊥CE.
(2)取AE的中点G,连接PG,QG,
在△ABE中,BP=PE,AG=GE,∴PG ∥ BA,
∵PG?平面ABCD,BA?平面ABCD,
∴PG ∥ 平面ABCD,
在梯形ADEF中,DQ=QF,AG=GE,
∴GQ ∥ AD,同理,GQ ∥ 平面ABCD,
∵PG∩GQ=G,PG?平面PGQ,GQ?PQG,
∴平面PQG ∥ 平面ABCD,
∵PQ?平面PQG,
∴PQ ∥ 平面ABCD.
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