Question

已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=2（x-1）．（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）解析式；（

已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=2（x-1）．（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）解析式；（Ⅱ）当x∈[-1，m]（m＞-1）时，求f（x）取值的集合．

Answer 1

（Ⅰ）设x＜0，则-x＞0，并且f（x）是偶函数，∴f（-x）=2^-x-1=-f（x）；
∴f（x）=-2^-x-1；
∴f(x)＝

2x?1 x≥0 ?2?x?1 x＜0

；
（Ⅱ）①当m＜0时，f（x）=-2^-x-1，f′（x）=2^-x-1ln2＞0；
∴函数f（x）在[-1，m]上为增函数，∴f（x）∈[f（-1），f（m）]=[-1，-2^-m-1]；
②当m=0时，x∈[-1，0）时，f（x）=-2^-x-1，由①知函数f（x）在[-1，0）上单调递增；
∴f（x）∈[f（-1），f（0））=[-1，-

1

2

）；
x=0时，f（0）=

1

2

；
∴m=0时，f（x）取值的集合是{f（x）|-1≤f（x）＜-

1

2

，或f（x）=

1

2

}
③当m＞0时，由②知x∈[-1，0）时，f（x）∈[-1，-

1

2

）；
x∈[0，m]时，f（x）=2^x-1，f′（x）=2^x-1ln2＞0，∴函数f（x）在[0，m]上单调递增；
∴f（x）∈[f（0），f（m）]=[

1

2

，2^m-1]；
∴m＞0时，f（x）取值的集合是[-1，-∴

1

2

）∪[

1

2

，2m?1]．