Question

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BPQ为直角三解形；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

Answer 1

（1）分两种情况考虑：
（i）当PQ⊥BC时，如图1所示：

由题意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-t）厘米，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=

BQ

BP

=

1

2

，即

2t

6?t

=

1

2

，
解得：t=

6

5

（秒）；
（ii）当QP⊥AB时，如图2所示：

由题意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-2t）厘米，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=

BP

BQ

=

1

2

，即

6?t

2t

=

1

2

，
解得：t=3（秒），
综上所述，t=

6

5

或3时，△BPQ为直角三解形；

（2）如图3，过Q作QE⊥AB，垂足为E
由QB=2t，得QE=2t?sin60°=

3

t
由AP=t，得PB=6-t
∴S_△BPQ=

1

2

×BP×QE=

1

2

（6-t）×

3

t=-

3

2

t²+3

3

t
∴S=-