Question

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， 解答下列问题：（1）当 为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）设△BPQ的面积为S（cm 2 ），求S与 的函数关系式；（3）作QR∥BA交AC于点R，连结PR，当 为何值时，△APR∽△PRQ ？

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Answer 1

（1） 或3；（2） ；（3） .

试题分析：(1)分两种情况考虑：（i）当PQ⊥BC时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）当QP⊥AB时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值． (2)根据∠B为60°特殊角，过Q作QE⊥AB，垂足为E，则BQ、BP、高EQ的长可用t表示，S与t的函数关系式也可求； （3）由题目线段的长度可证得△CRQ为等边三角形，进而得出四边形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值． 试题解析：（1）分两种情况考虑：（i）当PQ⊥BC时，如图1所示： 由题意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-t）厘米， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=60°， 在Rt△BPQ中， 即 ， 解得：t= （秒）； （ii）当QP⊥AB时，如图2所示： 由题意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-2t）厘米， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=60°， 在Rt△BPQ中， ，即 ， 解得：t=3（秒）， 综上所述，t= 或3时，△BPQ为直角三解形； （2）如图3，过Q作QE⊥AB，垂足为E 由QB=2t，得QE=2t?sin60°= 由AP=t，得PB=6-t ∴S △BPQ = ×BP×QE= （6-t）× = （3）如图4，∵QR∥BA， ∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60° ∴△QRC是等边三角形， ∴QR=RC=QC=6-2t， ∵BE=BQ?cos60°= ×2t=t， ∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t， ∴EP∥QR，EP=QR， ∴四边形EPRQ是平行四边形， ∴PR=EQ= 又∵∠PEQ=90°， ∴∠APR=∠PRQ=90°， ∵△APR∽△PRQ， ∴∠QPR=∠A=60°， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴ 时，△APR∽△PRQ． 考点: 等边三角形的性质；一元一次方程的应用．