如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB于点F．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB于点F．（1）求证：面PBC⊥面EFD；（2）求二面...
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB于点F．（1）求证：面PBC⊥面EFD；（2）求二面角C-PB-D的正切值大小．
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（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD；
∴PD⊥BC，即BC⊥PD，又BC⊥CD，PD∩CD=D；
∴BC⊥平面PCD，DE?平面PCD，∴BC⊥DE，即DE⊥BC；
∵PD=DC，E是PC的中点；
∴DE⊥PC，PC∩BC=C；
∴DE⊥平面PBC，PB?平面PBC；
∴DE⊥PB，即PB⊥DE，又PB⊥EF，DE∩EF=E；
∴PB⊥平面EFD，PB?平面PBC；
∴平面PBC⊥平面EFD；
（2）PB⊥平面EFD，∴PB⊥EF，PB⊥DF；
∴∠DFE是二面角C-PB-D的平面角；
由（1）知DE⊥平面PBC，EF?平面PBC；
∴DE⊥EF，即△DEF为Rt△；
设PD=1，则DE=
；
由（1）知△PBC为Rt△，∴△PEF∽△PBC，∴
＝
，∴EF＝
；
在Rt△PDB中，PB=
＝
，∴EF=
；
∴DF＝
＝
＝
∴PD⊥BC，即BC⊥PD，又BC⊥CD，PD∩CD=D；
∴BC⊥平面PCD，DE?平面PCD，∴BC⊥DE，即DE⊥BC；
∵PD=DC，E是PC的中点；
∴DE⊥PC，PC∩BC=C；
∴DE⊥平面PBC，PB?平面PBC；
∴DE⊥PB，即PB⊥DE，又PB⊥EF，DE∩EF=E；
∴PB⊥平面EFD，PB?平面PBC；
∴平面PBC⊥平面EFD；
（2）PB⊥平面EFD，∴PB⊥EF，PB⊥DF；
∴∠DFE是二面角C-PB-D的平面角；
由（1）知DE⊥平面PBC，EF?平面PBC；
∴DE⊥EF，即△DEF为Rt△；
设PD=1，则DE=
| ||
| 2 |
由（1）知△PBC为Rt△，∴△PEF∽△PBC，∴
| EF |
| BC |
| PE |
| PB |
| 1 |
| 2PB |
在Rt△PDB中，PB=
| 1+2 |
| 3 |
| ||
| 6 |
∴DF＝
| DE2+EF2 |
|
|
