Question

已知：函数 f(x)=ax+ b x +c （a，b，c是常数）是奇函数，且满足 f(1)= 5 2 ，f(2)=

已知：函数 f(x)=ax+ b x +c （a，b，c是常数）是奇函数，且满足 f(1)= 5 2 ，f(2)= 17 4 （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间（0， 1 2 ）上的单调性并说明理由；（3）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

（1）∵函数 f(x)=ax+ b x +c 是奇函数，满足f（-x）=-f（x），∴c=0 ∵ f(1)= 5 2 f(2)= 17 4 ，∴ a+b= 5 2 2a+ b 2 = 17 4 ，解之得a=2，b= 1 2 （2）由（1）可得f（x）=2x+ 1 2x ∴f（x）=2x+ 1 2x 在区间（0，0.5）上是单调递减的 证明：设任意的两个实数0＜x 1 ＜x 2 ＜ 1 2 ∵f（x 1 ）-f（x 2 ）=2（x 1 -x 2 ）+ 1 2 x 1 - 1 2 x 2 =2（x 1 -x 2 ）+ x 2 - x 1 2 x 1 x 2 = ( x 2 - x 1 )(1-4 x 1 x 2 ) 2 x 1 x 2 又∵0＜x 1 ＜x 2 ＜ 1 2 ∴x 1 -x 2 ＜0，0＜x 1 x 2 ＜ 1 4 ，1-4x 1 x 2 ＞0，可得f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0 即对任意0＜x 1 ＜x 2 ＜ 1 2 ，均有f（x 1 ）＞f（x 2 ） ∴f（x）=2x+ 1 2x 在区间（0， 1 2 ）上是减函数． （3）由（2）得f（x）=2x+ 1 2x 在区间（0，0.5）上是单调递减函数． 类似地可证出对任意x 1 ＞x 2 ＞ 1 2 ，均有f（x 1 ）＞f（x 2 ）， 可得f（x）=2x+ 1 2x 在区间（ 1 2 ，+∞）上是增函数． 因此，函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（ 1 2 ）=2．