已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R))是偶函数(1)求k的值;(2)设g(x)=log4(a?2x-43a),若函
已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R))是偶函数(1)求k的值;(2)设g(x)=log4(a?2x-43a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个...
已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R))是偶函数(1)求k的值;(2)设g(x)=log4(a?2x-43a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
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解(1)∵函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R))册扮是偶函数
∴f(-x)=log4(4-x+1)-kx)=log4(
)-kx=log4(4x+1)+kx(k∈R)恒成立
∴-(k+1)=k,则k=?
.
(2)g(x)=log4(a?2x-
a),
函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即
方程f(x)=g(x)只有一缓正个解
由已知得log4(4x+1)?
x=log4(a?2x-
a),
∴log4(
)=log4(a?2x-
a),
方程等价于
,
设2x=t,t>0,则(a-1)t2-
at-1=0有一解
若a-1>0,设h(t)=(a-1)t2-
at-1,
∵h(0)=-1<0,∴恰好有一正解
∴a>1满足题意
若a-1=0,即a=1时,不满足题意
若a-1<0,即a<1时,由△=(?
a)2+4(a?1)=0,得a=-3或a=
,
当a=-3时,t=
满足题意
当a=
时,t=-2(舍去)
综上所述实数a的取值范围是扰姿悔{a|a>1或a=-3}.
∴f(-x)=log4(4-x+1)-kx)=log4(
1+4x |
4x |
∴-(k+1)=k,则k=?
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(2)g(x)=log4(a?2x-
4 |
3 |
函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即
方程f(x)=g(x)只有一缓正个解
由已知得log4(4x+1)?
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2 |
4 |
3 |
∴log4(
4x+1 |
2x |
4 |
3 |
方程等价于
|
设2x=t,t>0,则(a-1)t2-
4 |
3 |
若a-1>0,设h(t)=(a-1)t2-
4 |
3 |
∵h(0)=-1<0,∴恰好有一正解
∴a>1满足题意
若a-1=0,即a=1时,不满足题意
若a-1<0,即a<1时,由△=(?
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当a=-3时,t=
1 |
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当a=
3 |
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综上所述实数a的取值范围是扰姿悔{a|a>1或a=-3}.
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