已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R))是偶函数(1)求k的值;(2)设g(x)=log4(a?2x-43a),若函

已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R))是偶函数(1)求k的值;(2)设g(x)=log4(a?2x-43a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个... 已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R))是偶函数(1)求k的值;(2)设g(x)=log4(a?2x-43a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围. 展开
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解(1)∵函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R))册扮是偶函数
∴f(-x)=log4(4-x+1)-kx)=log4
1+4x
4x
)-kx=log4(4x+1)+kx(k∈R)恒成立
∴-(k+1)=k,则k=?
1
2

(2)g(x)=log4(a?2x-
4
3
a),
函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即
方程f(x)=g(x)只有一缓正个解
由已知得log4(4x+1)?
1
2
x=log4(a?2x-
4
3
a),

∴log4
4x+1
2x
)=log4(a?2x-
4
3
a),
方程等价于
a?2x?
4
3
a>0
4x+1
2x
=a?2x?
4a
3

设2x=t,t>0,则(a-1)t2-
4
3
at
-1=0有一解
若a-1>0,设h(t)=(a-1)t2-
4
3
at
-1,
∵h(0)=-1<0,∴恰好有一正解
∴a>1满足题意
若a-1=0,即a=1时,不满足题意
若a-1<0,即a<1时,由△=(?
4
3
a)2+4(a?1)=0
,得a=-3或a=
3
4

当a=-3时,t=
1
2
满足题意
当a=
3
4
时,t=-2(舍去)
综上所述实数a的取值范围是扰姿悔{a|a>1或a=-3}.
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