Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12 ，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．





Answer 1

解：（1）如答图1，过点B作BF⊥x轴于F， 在Rt△BCF中， ∵∠BCO=45°，BC=12 ， ∴CF=BF=12． ∵C 的坐标为（﹣18，0）， ∴AB=OF=6， ∴点B的坐标为（﹣6，12）； （2）如答图1，过点D作DG⊥y轴于点G， ∵AB∥DG， ∴△ODG∽△OBA， ∵ ，AB=6，OA=12， ∴DG=4，OG=8， ∴D（﹣4，8），E（0，4）， 设直线DE的解析式为：y=kx+b（k≠0）， ∴ ，解得： ， ∴直线DE的解析式为：y=﹣x+4； （3）结论：存在． 设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F， 则E（0，4），F（4，0）， OE=OF=4，EF=4 ． 如答图2所示，有四个菱形满足题意． ①菱形OEP 1 Q 1 ，此时OE为菱形一边． 则有P 1 E=P 1 Q 1 =OE=4，P 1 F=EF﹣P 1 E= 4 ﹣4． 易知△P 1 NF为等腰直角三角形， ∴P 1 N=NF= P 1 F=4﹣2 ； 设P 1 Q 1 交x轴于点N， 则NQ 1 =P 1 Q 1 ﹣P 1 N=4﹣（4﹣2 ）=2 ， 又ON=OF﹣NF= 2 ， ∴Q 1 （2 ，﹣2 ）； ②菱形OEP 2 Q 2 ，此时OE为菱形一边． 此时Q 2 与Q 1 关于原点对称， ∴Q 2 （﹣2 ，2 ）； ③菱形OEQ 3 P 3 ，此时OE为菱形一边． 此时P 3 与点F重合，菱形OEQ 3 P 3 为正方形， ∴Q 3 （4，4）； ④菱形OP 4 EQ 4 ，此时OE为菱形对角线． 由菱形性质可知，P 4 Q 4 为OE的垂直平分线， 由OE=4，得P 4 纵坐标为2， 代入直线解析式y=﹣x+4，得P 4 横坐标为2， 则P 4 （2，2）， 由菱形性质可知，P 4 、Q 4 关于OE或x轴对称， ∴Q 4 （﹣2，2）． 综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形； 点Q的坐标为：Q 1 （2 ，﹣2 ）， Q 2 （﹣2 ，2 ）， Q 3 （4，4），Q 4 （﹣2，2）．

答图1 答图2

Answer 2

如图，正方形OABC的边长为1，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2(a<0)的图像上，a的值为？