Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosA=bcosB．（1）试判断△ABC的形状；（2）若△ABC的面积

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosA=bcosB．（1）试判断△ABC的形状；（2）若△ABC的面积为3，且tanC+2csinAa＝0，求a．

Answer 1

（1）由余弦定理得acosA=bcosB可知a?

b2+c2?a2

2bc

＝b?

a2+c2?b2

2ac

，
所以a²（b²+c²-a²）=b²（a²+c²-b²），
即（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），（3分）
所以（a²-b²）（c²-a²-b²）=0，所以a=b或c²=a²+b²，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．（6分）
（2）由tanC+

2csinA

a

＝0及正弦定理可得

sinC

cosC

+2sinC＝0，
而sinC＞0，所以cosC＝?

1

2

，所以C＝

2π

3

，（8分）
结合（1）可知△ABC必为等腰三角形，且A＝B＝

π

6

，
故△ABC的面积S＝

1

2

absinC＝

1

2

a2?

3

2

＝

3

，
所以a=2．（12分）