Question

数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-3n（n∈N*）（1）若数列{an+c}成等比数列，求常数c值；（2）求数列{an}的

数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-3n（n∈N*）（1）若数列{an+c}成等比数列，求常数c值；（2）求数列{an}的通项公式an（3）数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由S_n=2a_n-3_n及S_n+1=2a_n+1-3（n+1）得a_n+1=2a_n+3
∴

an+1+3

an+3

＝2，∴c=3

（2）∵a₁=S₁=2a₁-3，?∴a₁=3，a_n+3=（a₁+3）?2^n-1∴a_n=3.2ⁿ-3（n∈N^*）
（3）设存在S，P，r∈N^*，且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列∴2a_p=a_s+a_r
即2（3?2^p-3）=（3?2^s-3）+（3?2^r-3）∴2^p+1=2^s+2^r??
∴2^p-s+1=1+2^r-s∵s，p，r∈N^*?且s＜p＜r
∴2^p-s+1、2^r-s为偶数
1+2^r-s为奇数矛盾，不存在满足条件的三项