Question

在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项Sn满足2SnSn-1=Sn-1-Sn（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=S

在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项Sn满足2SnSn-1=Sn-1-Sn（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=Sn2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn；（Ⅲ）是否存在自然数m，使得对任意n∈N*，都有Tn＞14（m-519）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵2S_nS_n-1=S_n-1-S_n（n≥2），
∴2＝

1

Sn

?

1

Sn?1

（n≥2），
又∵a₁=1，∴

1

S1

＝1，
∴数列{

1

Sn

}为首项为1，公差为2的等差数列，
∴

1

Sn

＝1+(n?1)?2＝2n?1，
∴Sn＝

1

2n?1

．
当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝?

2

(2n?1)(2n?3)

，
∴an＝

1，(n＝1) ? 2 (2n?1)(2n?3) ，(n≥2).

．
（Ⅱ）bn＝

Sn

2n+1

＝

1

(2n+1)(2n?1)

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+…+(

1

2n?3

?

1

2n?1

)+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]
=

1

2

(1?

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