Question

已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an=2Sn^2/2Sn -1（n≥2，n∈N+）求数列an的通项公式

Answer 1

已知an=2Sn^2/(2Sn -1)
则an=Sn-S(n-1)=2Sn²/(2Sn-1)
2Sn²-2Sn*S(n-1)+Sn-S(n-1)=2Sn²
两边同除以Sn*S(n-1)
-2+1/S(n-1)-1/Sn=0
1/Sn-1/S(n-1)=-2
所以{1/Sn}是公差为-2的等差数列
首项=1/S1=1
所以1/Sn=1-2(n-1)=3-2n
Sn=1/(3-2n)
于是S(n-1)=1/(5-2n)
故通项公式an=Sn-S(n-1)=1/(3-2n)-1/(5-2n)

Answer 2

将an=Sn-S(n-1)代入已知条件an=2Sn^2/(2Sn -1)得
Sn-S(n-1)=2Sn²/(2Sn-1) （n≥2），展开化简得
2Sn²-2Sn*S(n-1)-Sn+S(n-1)=2Sn²
S(n-1)-Sn=2S(n-1)*Sn
两边同除以Sn*S(n-1)得
1/Sn-1/S(n-1)=2 （n≥2）
所以{1/Sn}是公差为2的等差数列，其首项=1/S1=1/a1=1
所以1/Sn=1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)
递推得S(n-1)=1/(2n-3)
两式相减得Sn-S(n-1)= 1/(2n-1)-1/(2n-3)=-2/[(2n-1)(2n-3)]
故通项公式an=-2/[(2n-1)(2n-3)] （n≥2）。
综上所述，当n=1时，an=1；当n≥2时，an=-2/[(2n-1)(2n-3)]。

Answer 3

an=Sn-S(n-1)
an+2SnS(n-1)=0

Sn-S(n-1)+2SnS(n-1)=0

同时除以SnS(n-1)
1/S(n-1) - 1/Sn+2=0
1/Sn - 1/S(n-1)=2
所以数列{1/Sn}是等差数列
S1=a1=1/2
首项为1/S1=2
公差为2

1/Sn=2+(n-1)×2
1/Sn=2n
Sn=1/2n
当n=1,an=1/2
当n>1时
an=Sn-S(n-1)=1/2n-1/(2n-2)=-1/[2n(n-1)]