Question

给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）

给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC 2 +BC 2 =AC 2 ，即四边形ABCD是勾股四边形．

Answer 1

(1)正方形、矩形、直角梯形均可； (2)①证明见解析 ②证明见解析

试题分析：（1）由勾股四边形的定义和特殊四边形的性质，则可得出； （2）①由旋转的性质可知△ABC≌△DBE，从而可得BC=BE，由∠CBE=60°可得△BCE为等边三角形； ②由①可得∠BCE=60°，从而可知△DCE是直角三角形，再利用勾股定理即可解决问题． 试题解析：（1）正方形、矩形、直角梯形均可； （2）①∵△ABC≌△DBE， ∴BC=BE， ∵∠CBE=60°， ∴△BCE是等边三角形； ②由①△BCE为等边三角形， ∴BC=CE，∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°， ∴∠DCE=90°， 在Rt△DCE中， DC 2 +CE 2 =DE 2 ， ∴DC 2 +BC 2 =AC 2 ．