Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe1-x（a∈R，e为自然对数的底）（Ⅰ）求f（x）的单调区间

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe1-x（a∈R，e为自然对数的底）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′(x)＝(2?a)?

2

x

，(x＞0)，
∴（1）当2-a≤0即a≥2时f'（x）＜0恒成立．
（2）当2-a＞0即a＜2时，由f'（x）＜0，得0＜x＜

2

2?a

；
由f'（x）＞0，得x＞

2

2?a

．
因此：当a≥2时函数f（x）的单调减区间是（0，+∞）；
当a＜2时，函数f（x）的单调减区间是(0，

2

2?a

)，单调增区间是(

2

2?a

，+∞)
（II）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，
又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e＞0，
∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
由（Ⅰ）知当a≥2时函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，不合题意，
∴a＜2，并且0＜

2

2?a

＜e，即a＜2?

2

e

①
∵x→0时f（x）→+∞，故对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同x_i（i=1，2），
使得f（x_i）=g（x₀）成立，当且仅当a满足

f( 2 2?a )＝a?2ln 2 2?a ≤0 f(e)＝(2?a)(e?1)?2≥1

，
注意到f（1）=0，故只要f（e）=（2-a）（e-1）-2≥1，即a≤2?

3

e?1

②
由①②知，所求的a得取值范围是(?∞，2?

3

e?1

]