Question

设函数f（x）=x 2 +2x-2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当 x∈[ 1 e -1，e-1]

设函数f（x）=x 2 +2x-2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当 x∈[ 1 e -1，e-1] 时，是否存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m 2 +2m+e 2 恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）关于x的方程f（x）=x 2 +x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由1+x＞0得函数f（x）的定义域为（-1，+∞）， f ′ (x)=2x+2- 2 x+1 = 2x(x+2) x+1 ． 由f′（x）＞0得x＞0；由f′（x）＜0得-1＜x＜0， ∴函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；递减区间是（-1，0）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在 [ 1 e -1，0] 上递减，在[0，e-1]上递增． ∴f（x） min =f（0）=0 又∵ f( 1 e -1)= 1 e 2 +1 ，f（e-1）=e 2 -3，且 e 2 -3＞ 1 e 2 +1 ， ∴ x∈[ 1 e -1，e-1] 时，f（x） max =e 2 -3． ∵不等式m＜f（x）≤-m 2 +2m+e 2 恒成立， ∴ - m 2 +2m+ e 2 ≥f (x) max m＜f (x) min ????   ， 即 - m 2 +2m+ e 2 ≥ e 2 -3 m＜0??????   ? m 2 -2m-3≤0 m＜0???   ? -1≤m≤3 m＜0   ?-1≤m＜0 ∵m是整数，∴m=-1． ∴存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m 2 +2m+e 2 恒成立． （Ⅲ）由f（x）=x 2 +x+a得x-a-2ln（1+x）=0，x∈[0，2] 令g（x）=x-a-2ln（1+x），则 g ′ (x)=1- 2 1+x = x-1 x+1 ，x∈[0，2] 由g′（x）＞0得1＜x≤2；由g′（x）＜0得0≤x＜1． ∴g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增． ∵方程f（x）=x 2 +x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根， ∴函数g（x）在[0，1）和（1，2]上各有一个零点， ∴ g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0 ? -a≥0 1-a-2ln2＜0 2-a-2ln3≥0 ? a≤0 a＞1-2ln2 a≤2-2ln3 ?1-2ln2＜a≤2-2ln3 ， ∴实数a的取值范围是1-2ln2＜a≤2-2ln3