Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+2x分别在x=-1和x=23处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）

已知函数f（x）=ax3+bx2+2x分别在x=-1和x=23处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的图象在x=12处的切线方程．

Answer 1

（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+2，
由题意得：

3a?2b+2＝0 2a+2b+3＝0

，
解得：a=-1，b=-

1

2

，
∴f（x）=-x³-

1

2

x²+2x；
（2）由（1）得；f′（x）=-3x²-x+2，
∴f′（

1

2

）=-3×(

1

2

)2-

1

2

+2=

3

4

，
∴f（

1

2

）=-(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2+2×

1

2

=

3

4

．
则所求切线方程为：y-

3

4

=

3

4

（x-

1

2

），
即：6x-8y+3=0．