Question

已知函数f(x)＝(m+1)lnx+m2x2?1．（1）当m＝?12时，求f（x）在区间[1e， e]上的最值；（2）讨论函数f（x

已知函数f(x)＝(m+1)lnx+m2x2?1．（1）当m＝?12时，求f（x）在区间[1e， e]上的最值；（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

（1）当m＝?

1

2

时，f(x)＝

1

2

lnx?

1

4

x2?1
∴f′(x)＝

(1+x)(1?x)

2x

∵x＞0，∴x+1＞0
∴令f′（x）＞0，即

(1+x)(1?x)

2x

＞0，∵x＞0，x+1＞0，∴0＜x＜1；
令f′（x）＜0，即

(1+x)(1?x)

2x

＜0，∵x＞0，x+1＞0，∴x＞1，
∴函数的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）
∵x∈[

1

e

， e]
∴函数的递增区间为[

1

e

，1），递减区间为（1，e]
∴f（x）在区间[

1

e

， e]上的最大值为f（1）=-

5

4

，最小值为f（e）=

1

2

?

1

4

e2?1；
（2）∵函数f(x)＝(m+1)lnx+

m

2

x2?1，
∴f′(x)＝

mx2+(m+1)

x

（x＞0）
当m≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增；
当-1＜m＜0时，f′(x)＝

m(x+ ?1?m m )(x? ?1?m m )

x

，
令f′（x）＞0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴0＜x＜

?1?m m

；
令f′（x）＜0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴x＞