Question

不等式证明都有哪几种方法

Answer 1

不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：.
作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.
（2）综合法：由因导果.
（3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.
（4）反证法：正难则反.
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）；
③利用基本不等式，如：；；
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.
如：已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究.