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证明不等式的基本方法是比较法、综合法、分析法,有时也采用反证法、数学归纳法。有时也要涉及一点放缩法,但不要追求那些特殊的放缩技巧。
(1)比较法
证明不等式的比较法,有求差比较法(比较与0大小的关系)和求商比较法(比较与1的大小关系)两种基本途径。其依据是:
1)由于 ,因此,证明 ,可转化为证明与之等价的 ,这就是求差比较法。
2)由于当 时, ,因此,证明 ( )可转化为证明与之等价的 ( ),这种证明方法就是求商比较法。使用求商比较法要注意 的前提条件。若 ,则有: 。即:
(2)综合法
依据题设的条件与基本不等式,以及不等式的性质,运用不等式的变换,证明指定不等式是成立的,这种证明方法就是综合法。综合法的思路是“由因导果”:从已知的不等式出发,通过一系列的推出变换,证明指定不等式是成立的。
综合法的重点是正确运用有关不等式的平均值定理,即
,则 ;
,则 ;
,则 ;
以及它们的变形形式: ;
还有含绝对值符号的不等式的性质:
(3)分析法
从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证明方法就是分析法。分析法的思路是“执果索因”:从求证的不等式出发,探索使结论成立的充足条件,直至已成立的不等式。
采用综合法证明不等式时,常用“ ”的符合表示由因导果的推理方式;采用分析法证明不等式时,常用“ ”的符号表示执果索因的推理方式。
分析法和综合法不仅是不等式证明中常用的方法,也是十分重要的逻辑思维方法。它对于指导我们认识条件和结论之间的联系,设计适当的推演步骤、运算方案,使问题得到解决,起着很大的作用。
(4)反证法
先假定结论不成立,并由此出发,推出与题设条件或正确理论相矛盾的结果,从而说明命题正确,这种证明方法就是反证法。反证法的思路是“假设—矛盾—肯定”,采用反证法证明不等式时,从否定结论出发,推出矛盾的过程,每一步推理都必须是正确的。
(5)数学归纳法的证明方法
数学归纳法只适用于一类特殊不等式的证明。
(1)比较法
证明不等式的比较法,有求差比较法(比较与0大小的关系)和求商比较法(比较与1的大小关系)两种基本途径。其依据是:
1)由于 ,因此,证明 ,可转化为证明与之等价的 ,这就是求差比较法。
2)由于当 时, ,因此,证明 ( )可转化为证明与之等价的 ( ),这种证明方法就是求商比较法。使用求商比较法要注意 的前提条件。若 ,则有: 。即:
(2)综合法
依据题设的条件与基本不等式,以及不等式的性质,运用不等式的变换,证明指定不等式是成立的,这种证明方法就是综合法。综合法的思路是“由因导果”:从已知的不等式出发,通过一系列的推出变换,证明指定不等式是成立的。
综合法的重点是正确运用有关不等式的平均值定理,即
,则 ;
,则 ;
,则 ;
以及它们的变形形式: ;
还有含绝对值符号的不等式的性质:
(3)分析法
从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证明方法就是分析法。分析法的思路是“执果索因”:从求证的不等式出发,探索使结论成立的充足条件,直至已成立的不等式。
采用综合法证明不等式时,常用“ ”的符合表示由因导果的推理方式;采用分析法证明不等式时,常用“ ”的符号表示执果索因的推理方式。
分析法和综合法不仅是不等式证明中常用的方法,也是十分重要的逻辑思维方法。它对于指导我们认识条件和结论之间的联系,设计适当的推演步骤、运算方案,使问题得到解决,起着很大的作用。
(4)反证法
先假定结论不成立,并由此出发,推出与题设条件或正确理论相矛盾的结果,从而说明命题正确,这种证明方法就是反证法。反证法的思路是“假设—矛盾—肯定”,采用反证法证明不等式时,从否定结论出发,推出矛盾的过程,每一步推理都必须是正确的。
(5)数学归纳法的证明方法
数学归纳法只适用于一类特殊不等式的证明。
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