Question

函数f（x）=x-1-alnx（a∈R）（I）求函数f（x）的极值；（II）若a＜0，对于任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x

函数f（x）=x-1-alnx（a∈R）（I）求函数f（x）的极值；（II）若a＜0，对于任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，都有|f(x1)?f(x2)|＜4|1x1?1x2|，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）由题意，x＞0，f′（x）=1-

a

x

．
若a≤0时，f′（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，函数f（x）不存在极值；
当a＞0时，∵x＞a时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；0＜x＜a时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数，
∴x=a时，函数f（x）有极小值f（a）=a-1-alna；
（II）当a＜0时，由（I）知函数f（x）在（0，1]上是增函数，又函数y=

1

x

在（0，1]上是减函数
不妨设0＜x₁≤x₂≤1
则|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f(x1)?f(x2)|＜4|

1

x1

?

1

x2

|，即f（x₂）+4×

1

x2

≤f（x₁）+4×

1

x1

设h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，
则|f(x1)?f(x2)|＜4|

1

x1

?

1

x2

|，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数
∵h'（x）=1-

a

x

-

4

x2

=

x2?ax?4

x2

，∴x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-

4

x

在（0，1]内的最大值．
而函数y=x-

4

x

在（0，1]是增函数，∴y=x-

4

x

的最大值为-3
∴a≥-3，
又a＜0，∴a∈[-3，0）．