Question

计算曲面积，I=?(x3+z2)dydz+（y3+x2）dzdx+（z3+y2）dxdy，其中∑为上半球面z=1?x2?y2的上侧

计算曲面积，I=?(x3+z2)dydz+（y3+x2）dzdx+（z3+y2）dxdy，其中∑为上半球面z=1?x2?y2的上侧．

Answer 1

添加曲面S1：

x2+y2≤1 z＝0

，方向为z轴的负方向．
令∑和S₁所围成的空间区域为Ω，根据高斯公式可得，
I₁=

?

∑+S1

(x3+z2)dydz+(y3+x2)dzdx+(z3+y2)dxdy
=

?

Ω

3(x2+y2+z2)dxdy
=3

∫

2π 0

dθ

∫

π 2 0

sinφdφ

∫

1 0

ρ4dρ
=

6

5

π．
又因为
I₂=

?

S1

(x3+z2)dydz+(y3+x2)dzdx+(z3+y2)dxdy
=

?

S1

y2dxdy
=?

?

x2+y2≤1

y2dxdy
=-

∫

2π 0

sin2θdθ

∫

1 0

r3dr
=-

π

4

，
所以，
I=I1-I2
=

6

5

π+

π

4

=

29

20

π．