Question

设3阶方阵B≠0，B的每一列都是方程组x1+2x2?2x3＝02x1?x2+λx3＝03x1+x2? x3＝0的解．（1）求λ的值；

设3阶方阵B≠0，B的每一列都是方程组x1+2x2?2x3＝02x1?x2+λx3＝03x1+x2? x3＝0的解．（1）求λ的值；（2）证明：|B|=0．

Answer 1

（1）由B≠0，且B的列向量为方程组的解，可知方程组有非零解，

所以有系数矩阵A＝

1 2 −2

2 −1 λ

3 1 −1

，R（A）＜3，

所以，|A|=0 

|A|＝

.

1 2 −2

2 −1 λ

3 1 −1

.

＝

.

1 2 −2

0 −5 λ+4

0 −5 5

.

=

.

1 2 −2

0 −5 λ+4

0 0 1−λ

.

=0

所以，1-λ=0，λ=1

（2）代入λ=1可得：

A＝

1 2 −2

2 −1 1

3 1 −1

→

5 0 0

2 −1 1

5 0 0

→

1 0 0

0 −1 1

0 0 0

所以，R（A）=2，

及方程组基础解系只有一个解向量，设为α，则B的每一列都可表示为kα，利用行列式任意两行对应成比例则行列式为0，可得|B|=0。

扩展资料：

直接计算方法——对角线法

标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。

这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的对角线上的三个数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。

参考资料来源：百度百科-三阶行列式

Answer 2

（1）由B≠0，且B的列向量为方程组的解，可知方程组有非零解，
所以有系数矩阵A＝

1 2 ?2 2 ?1 λ 3 1 ?1

，R（A）＜3，
所以，|A|=0
|A|＝

.

1 2 ?2 2 ?1 λ 3 1 ?1

.

＝

.

1 2 ?2 0 ?5 λ+4 0 ?5 5

.

=

.

1 2 ?2 0 ?5 λ+4 0 0 1?λ

.

=0
所以，1-λ=0，λ=1
（2）代入λ=1可得：
A＝

1 2 ?2 2 ?1 1 3 1 ?1

→

5 0 0 2 ?1 1 5 0 0

→

1 0 0 0 ?1 1 0 0 0

所以，R（A）=2，
及方程组基础解系只有一个解向量，设为α，则B的每一列都可表示为kα，
利用行列式任意两行对应成比例则行列式为0，可得|B|=0．