Question

数学渣，求问微积分的基本思想。。

微积分去除高阶无穷小后，之后积分所得到的近似解，结果是不是也不用加上高阶无穷小了。然后通过极限取得精确的面积。

Answer 1

微积分最根本的就是“连续”，其中最初的连续是指实数域的连续，这一点保证极限运算是可行的；再有就是函数的连续，就是当自变量发生微小的变化时，函数值的变化是可控的，也就是说函数值不会发生太显著的变化；还有就是高阶连续性，即连续可导，也就是函数的导函数的连续性。

对于一个函数，如果自变量趋于零(向左和向右)时，函数值和自变量的差商会稳定在某个常数附近，我们把这个常数叫做函数的微商或者导数，称这个函数在一点处可导。因此导数不是所谓的“近似值”，而是一个没有任何误差的准确值；而应该理解为，当自变量很小时，差商是导数的近似值。所以不要说忽略了高阶无穷小后才得到导数。

对于积分而言，我们通常使用的是“黎曼积分”。黎曼积分是指，对于某个闭区间上的有界函数，对该闭区间进行任意的分割，当分割的“直径”足够小时，如果函数的黎曼和会稳定在某个常数附近，我们就把这个常数叫做这个函数在该闭区间上的黎曼积分或定积分。这里也要注意的一点就是，定积分也不是什么忽略了高阶无穷小才得到的近似值，而应该说，当划分足够小时，黎曼和是定积分的近似值。